Efeito de primeira ordem

O efeito de primeira ordem refere-se à variação do valor médio do fenômeno analisado ao longo do espaço, indicando uma tendência global, ou seja, variações médias de grande escala no território analisado.

Um exemplo comum de efeito de primeira ordem é a temperatura média em uma região, onde a temperatura tende a aumentar ou diminuir de forma contínua em função da latitude, altitude ou até proximidade do oceano. Esse efeito pode ser representado por um gradiente térmico no espaço, mesmo sem considerar interações locais.

Em termos matemáticos, o efeito de primeira ordem está relacionado à função média do processo espacial, representada por:

$$Y(s) = \mu(s) + e(s)$$

Onde:

• $\mu(s)$ representa a tendência espacial;
• $e(s)$ representa a variação residual ou o erro.

Efeito de segunda ordem

O efeito de segunda ordem, por sua vez, está associado à dependência espacial entre pontos próximos. Ou seja, descreve como as observações feitas em locais geograficamente vizinhos tende a apresentar valores semelhantes (estrutura de correlação espacial).

Enquanto o efeito de primeira ordem captura tendências globais (padrões amplos), o efeito de segunda ordem revela padrões locais ou variações em pequena escala, que geralmente são detectadas ao observar a correlação espacial entre os pontos. Um exemplo comum é a precipitação, onde áreas vizinhas apresentam volumes de chuvas similares. Isso se dá devido à continuidade espacial do fenômeno.

Esse tipo de efeito pode ser analisado por meio da função de covariância espacial ou do semivariograma, técnicas que quantificam a relação entre pontos geograficamente próximos.

É fundamental saber distinguir esses dois efeitos ao elaborar modelos espaciais. Enquanto o efeito de primeira ordem pode ser tratado por funções de tendência, o efeito de segunda ordem requer modelagem da estrutura de dependência espacial, como krigagem e interpolação geoestatística. Veremos mais sobre isso adiante.

A análise conjunta desses efeitos permite a produção de estimativas mais precisas e uma melhor interpretação dos padrões espaciais subjacentes a diversos fenômenos naturais e ambientais, muitas vezes presentes na temática da saúde pública.

Por que essa distinção importa na vigilância em saúde?

Porque os efeitos de primeira ordem ajudam a identificar tendências gerais, como a maior ocorrência de doenças em regiões mais urbanizadas ou com piores indicadores socioeconômicos. Já os efeitos de segunda ordem revelam padrões locais que podem indicar áreas de risco ou a ocorrência de surtos.

Reconhecer essa diferença é essencial para evitar interpretações equivocadas e permite orientar melhor as ações de vigilância, alocação de recursos e planejamento de intervenções.

No próximo tópico, veremos como esses efeitos podem ser explorados na prática.

Análise exploratória do efeito de primeira ordem

A análise exploratória é o primeiro passo na investigação de dados espaciais. Ela permite identificar padrões e tendências que ajudam a diferenciar os efeitos de primeira e segunda ordem. Para isso, a visualização de dados ajuda a compreender a distribuição espacial e a intensidade do fenômeno em estudo.

No caso do efeito de primeira ordem, buscamos identificar variações na intensidade do fenômeno ao longo do espaço. As principais ferramentas para essa análise incluem:

• Mapas de distribuição espacial: Representam a localização dos pontos amostrados e a intensidade do fenômeno estudado. São úteis para visualizar padrões globais e regiões com maior ou menor concentração do evento analisado.

• Gráficos de dispersão entre a variável de interesse ($Y(s)$) versus coordenadas espaciais (por exemplo, latitude e longitude): Auxiliam na detecção de tendências espaciais, permitindo relacionar a variável de interesse com coordenadas e verificar se há aumento ou diminuição sistemática dos valores a depender da direção.

Vamos acompanhar alguns exemplos em seguida.

A Figura 51, mostra as medições de chuvas realizadas em 143 estações de monitoramento no estado do Paraná. Os gráficos de dispersão exibem a distribuição espacial dessas estações com base em coordenadas X e Y, representando a localização dos pontos de medição.

O gráfico à esquerda, exibe a localização das estações pluviométricas no estado do Paraná, destacando os pontos de medição (em vermelho). Já com essa visualização é possível identificar a densidade e a cobertura espacial dos pontos de medição para, assim, ter uma compreensão da rede de monitoramento. Já o gráfico à direita apresenta uma diferenciação por cores, que pode indicar variações na precipitação medida. As cores distintas (vermelho, amarelo, verde e azul) sugerem possíveis agrupamentos ou padrões espaciais na distribuição dos dados.

Essas representações visuais ajudam a compreender se há zonas com maior ou menor volume de chuva, padrões espaciais consistentes ou necessidade de melhorar a cobertura das estações na rede de monitoramento.

Agora, vamos para outro exemplo.

A Figura 52 apresenta diferentes visualizações de um conjunto de dados espaciais, também no estado do Paraná. São elas:

• O mapa (superior esquerdo) mostra a distribuição espacial dos pontos de medição, com símbolos e cores que podem representar diferentes faixas de precipitação (ou outro evento ambiental).

• O gráfico de dispersão (superior direito), a coordenada Y versus data, revela uma tendência de redução dos valores ao longo do eixo norte-sul (coordenada Y), principalmente a medida que a coordenada Y aumenta (gradiente espacial).

• O outro gráfico de dispersão (inferior esquerdo), que relaciona a coordenada X com a variável de interesse, mostra um padrão de tendência que pode indicar variações sistemáticas ao longo do eixo leste-oeste (coordenada X).

• O histograma (inferior direito) mostra a distribuição de frequência dos valores analisados, sugerindo que os dados seguem uma distribuição aproximadamente normal, porém com uma leve assimetria.

O que podemos concluir?

A análise exploratória mostrou que os dados possuem boa cobertura territorial e tendências espaciais claras (com tendências nos eixos X e Y) indicando a presença de efeitos de primeira ordem. Esses padrões ajudam a identificar regiões com maior risco para determinados agravos, como áreas com alta pluviosidade associadas a surtos de dengue, ou zonas de menor temperatura com maior incidência de síndromes respiratórias. Já o histograma dos dados a entender a distribuição dos valores da variável medida, fornecendo insights sobre sua dispersão e comportamento estatístico. Para a vigilância em saúde, essa etapa inicial é essencial: ela orienta onde priorizar investigações, planejar ações de campo e alocar recursos de forma mais eficiente.

Análise exploratória do efeito de segunda ordem

Como vimos antes, os efeitos de segunda ordem refletem a dependência espacial entre observações próximas. Em outras palavras, eles ajudam a identificar se há padrões locais nos dados, uma característica essencial para a detecção de áreas de risco, surtos e clusters de agravos na vigilância em saúde.

Para investigá-los, precisaremos aprofundar alguns conceitos e ferramentas como o covariograma e o variograma:

• Covariograma: Mede a covariância espacial entre pares de pontos em função da distância. Essa medida permite avaliar a correlação entre locais distintos.

• Variograma: Analisa a variabilidade espacial do fenômeno, quantificando como as diferenças entre valores observados aumentam com a distância. É uma ferramenta essencial para modelagem geoestatística.

No contexto da vigilância em saúde, essa abordagem exploratória é fundamental para orientar a escolha dos modelos espaciais mais adequados e garantir interpretações mais precisas dos dados analisados. Veremos mais desses conceitos logo mais adiante.

A análise de processos espaciais pode ser simplificada ao considerar certas propriedades estatísticas, como a estacionariedade e a isotropia:

• Estacionariedade: supõe que as propriedades estatísticas do processo não dependem da localização em si, mas apenas da separação entre os pontos. Nesse caso:

  • A média do processo é constante em todo o espaço:

$$E(Y(s)) = \mu, \quad \forall s$$

• A variância da diferença entre valores em dois pontos depende apenas da distância $h$, e não da localização:

$$Var(Y(s+h) - Y(s)) = 2\gamma(h)$$

para a qual $2\gamma(h)$ é chamado de variograma, e $\gamma(h)$ representa o semi-variograma.

• A covariância entre dois pontos depende apenas do deslocamento entre eles:

$$C(s_i, s_j) = C(s_i - s_j) = C(h)$$

para a qual $C(h)$ representa o covariograma do processo.

• Isotropia: Supõe que suas propriedades estatísticas não variam em relação à direção. Isso significa que a covariância entre dois pontos depende apenas da distância euclidiana entre eles:

$$C(s_i, s_j) = C(\|s_i - s_j\|) = C(h)$$

para a qual $\|\cdot\|$ denota a distância euclidiana. Em um processo isotrópico, a correlação espacial não depende da orientação, apenas da magnitude da separação entre os pontos.

Essas suposições, quando verificadas, permitem aplicar modelos mais simples e eficientes — o que é especialmente útil em contextos de rotina da vigilância, onde é preciso equilibrar robustez estatística com agilidade na produção de informações. Contudo, vamos detalhar uma pouco mais os conceitos técnicos.

Estrutura do variograma

Um variograma possui uma estrutura composta por três elementos fundamentais que ajudam a entender a estrutura de dependência espacial de uma variável regionalizada. Esses componentes são mostrados na Figura 55.

Abaixo, destacamos suas principais características:

• Efeito Pepita (Nugget): Representa as variações aleatórias, erros de medição ou pequenas flutuações nos dados devido ao processo de coleta. É o valor do variograma quando $h = 0$, expresso por:

$\gamma(0) = \tau^2$

• Patamar (Sill): Corresponde ao valor máximo da semivariância. Indica o ponto a partir do qual as observações deixam de estar espacialmente correlacionadas. Ou seja, a variabilidade se estabiliza.

• Amplitude (Range): Corresponde a distância a partir da qual a correlação entre os pontos se torna insignificante. No gráfico, é o ponto no eixo das distâncias ($x$) onde a curva do variograma atinge o sill, indicando que além dessa distância, as observações são essencialmente independentes.

Variogramas para modelos isotrópicos

Como vimos, o variograma é uma ferramenta central na geoestatística. Para modelar a dependência espacial de um fenômeno, utiliza-se um modelo teórico ajustado ao variograma empírico. Em casos em que se assume que a dependência espacial é a mesma em todas as direções, isto é, o processo é isotrópico, alguns modelos são amplamente utilizados:

Modelo Gaussiano: Caracteriza-se por um crescimento suave e gradual da semivariância, apresentando um comportamento parabólico próximo à origem. Esse modelo é adequado para processos espaciais contínuos e suavizados.

$$\gamma(h) = \sigma^2 \left( 1 - \exp \left\{ -\left(\frac{h}{\phi} \right)^2 \right\} \right), \quad h > 0$$

Modelo Exponencial: Possui um crescimento mais acentuado no início, indicando forte dependência espacial em curtas distâncias. No entanto, a aproximação ao patamar ocorre de forma mais lenta, sendo útil para fenômenos com correlação espacial de curto alcance.

$$\gamma(h) = \sigma^2 \left( 1 - \exp \left\{ -\frac{h}{\phi} \right\} \right), \quad h > 0$$

Modelo Esférico: Apresenta um crescimento inicial rápido e, posteriormente, atinge o patamar de forma mais abrupta, tornando-se uma boa escolha para fenômenos que possuem um limite bem definido de correlação espacial.

$$\gamma(h) = \begin{cases} \sigma^2, & h > \phi \\ \sigma^2 \left\{ \frac{2}{3} \left( \frac{h}{\phi} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{h}{\phi} \right)^3 \right\}, & 0 < h < \phi \end{cases}$$

A Figura 56 apresenta a comparação gráfica entre os três modelos. Cada curva mostra como diferentes estruturas espaciais se comportam em relação à distância entre os pontos:

• O modelo gaussiano, por exemplo, apresenta um crescimento lento e um comportamento parabólico próximo a origem e fornece um modelo para fenômenos extremamente contínuos.

• O modelo exponencial cresce mais rapidamente perto da origem mas a aproximação da função ao patamar é mais lenta.

• Frequentemente os modelos são ajustados aos dados observados no variograma empírico, apenas por uma comparação visual.

Acompanhe na Figura 56:

Já a Figura 57 representa um exemplo que vimos do Estado do Paraná. Na figura é representado o ajuste dos três modelos.

Com base na figura, podemos dizer que:

• O modelo exponencial apresenta um ajuste mais rápido nas curtas distâncias, capturando melhor a estrutura local dos dados.

• O modelo gaussiano cresce de maneira mais suave e contínua, sendo adequado para fenômenos com transição gradual da dependência espacial.

• O modelo esférico se ajusta bem até uma determinada distância, após a qual a semivariância estabiliza rapidamente. Característica útil para representar fenômenos com dipersão limitada.

Agora, vamos ver alguns exemplos que ilustram como esses conceitos são utilizados na análise de dados espaciais em saúde pública e outras áreas.

Aplicação 1

A Figura 58 mostra uma aplicação da geoestatística utilizando dados de temperatura coletados em uma região do Oceano Pacífico, localizada ao longo da costa da Califórnia. O objetivo da análise é compreender a variabilidade espacial e temporal da temperatura ao longo do período estudado.

As medições foram realizadas em uma grade espacial regular de $10 \times 4$ pontos (longitude x latitude), com uma resolução espacial de 0,5 graus, totalizando 40 pontos de amostragem ($n=40$). Os dados foram registrados a cada 8 dias, no intervalo de julho de 2000 a maio de 2005, resultando em 240 observações no tempo ($T=240$).

O gráfico à esquerda exibe a localização da grade de amostragem sobre um mapa da região costeira da Califórnia. Já o gráfico à direita apresenta a série temporal da temperatura ($°C$) ao longo do período analisado, destacando padrões sazonais recorrentes.

Esse tipo de informação é essencial para compreender a dinâmica térmica regional, permitindo o uso de modelos geoestatísticos para estimar temperaturas em áreas não monitoradas, identificar tendências sazonais e avaliar possíveis impactos ambientais e em saúde associados às mudanças climáticas.

Aplicação 2

A Figura 59 representa uma aplicação da geoestatística que tem como objetivo monitorar a presença do Aedes aegypti, vetor de doenças como dengue, zika e chikungunya, por meio da contagem de ovos depositados em armadilhas de oviposição instaladas em uma área urbana, mais especificamente no bairro de Higienópolis na cidade do Rio de Janeiro.

As armadilhas foram distribuídas estrategicamente ao longo do bairro para capturar padrões espaciais da oviposição do mosquito. Os dados foram coletados em base semanal, seguindo o calendário epidemiológico, durante o período de setembro de 2006 a março de 2008.

A imagem à esquerda apresenta uma visão aérea da área onde as armadilhas foram instaladas. O mapa à direita exibe a distribuição espacial das armadilhas, com diferentes formas representando os tipos de armadilhas e localização de espaço estratégico para coleta de ovos.

Essa abordagem possibilitam a aplicação de técnicas geoestatísticas, como a elaboração de variogramas experimentais e interpolação espacial por krigagem. Dessa forma, é possível gerar mapas preditivos que representem padrões espaciais e permitam à vigilância em saúde em identificar de áreas de maior risco para proliferação do vetor, permitindo o desenvolvimento de estratégias mais eficazes para o controle da transmissão de arboviroses.

Agora, entraremos na introdução teórica da geoestatística, abordando conceitos fundamentais e técnicas de modelagem espacial e, em seguida, aplicaremos esses conceitos a dados reais.

Krigagem

O principal objetivo da geoestatística é prever valores de uma variável com continuidade espacial em locais onde não há observações diretas, o que é altamente relevante para a vigilância em saúde em territórios com lacunas de dados.

A técnica utilizada para realizar essa previsão é conhecida como krigagem. O termo krigagem deriva do geólogo sul-africano D. G. Krige, que desenvolveu a primeira versão do método. O método consiste em um processo de interpolação que estima o valor em uma localização não observada $s'$, denotado por $\hat{Y}(s')$.

Em sua forma mais simples, é assumido que:

$\hat{y}(s') = \hat{\mu}(s')$

Nesse caso, estamos considerando apenas efeitos globais, ignorando efeitos locais. Incorporar a função de covariância $C$ permite melhorar significativamente a acurácia das previsões, levando em conta efeitos locais.

Os principais métodos de krigagem são:

• Krigagem simples: assume média constante conhecida;

• Krigagem ordinária: assume média constante, mas desconhecida;

• Krigagem universal: incorpora uma tendência explícita no modelo;

• Krigagem bayesiana: utiliza inferência probabilística, sendo apropriada quando há incerteza sobre parâmetros ou estrutura espacial.

Considerações Gerais sobre a Krigagem:

• É importante destacar que a qualidade das previsões obtidas por krigagem depende da escolha adequada dos modelos utilizados para representar a tendência e o variograma.

• Para avaliar a eficácia do procedimento, um método amplamente utilizado é a validação cruzada, que permite verificar a precisão das previsões geradas pelo modelo.

• No processo de validação cruzada, cada valor observado $y(s_i)$ é temporariamente removido do conjunto de dados. Em seguida, uma previsão para essa localização é realizada utilizando apenas as demais observações disponíveis.

• Como resultado, obtemos um conjunto de $n$ erros de previsão, calculados a partir da diferença entre os valores observados e preditos.

• A análise desses erros possibilita uma avaliação detalhada do desempenho da krigagem. Se necessário, ajustes podem ser realizados nos parâmetros do variograma, na superfície de tendência ou em outros aspectos do modelo para melhorar a precisão das previsões.

Essa etapa é fundamental para garantir que os produtos gerados (por exemplo, mapas de risco ou superfícies interpoladas) representem adequadamente a realidade do território, permitindo que ações em saúde sejam orientadas com maior segurança e precisão.

Para ilustrar a aplicação da krigagem, vamos seguir um exemplo utilizando os dados de precipitação e, em seguida, vamos para a prática no R. Vamos lá?

Exemplo de aplicação

Modelo Espacial

Neste exemplo, vamos retomar com os dados de chuva no estado do Paraná. Vamos acompanhar a estruturação do modelo da precipitação como uma função da localização geográfica (latitude e longitude), além de uma componente espacial que captura variações locais:

Podemos ajustar o seguinte modelo espacial:

$chuva(s) = \beta_0 + \beta_1 lat(s) + \beta_2 long(s) + Z(s) + \varepsilon(s)$

para a qual:

• $Z(.)$ é um processo Gaussiano espacial com média zero e estrutura de correlação $\rho(.; \phi)$, definida pela função exponencial, com variância $\sigma^2$.

• O termo $\varepsilon(.)$ representa o erro de medida (efeito pepita), assumindo uma distribuição normal: $\varepsilon(.) \sim N(0, \tau^2)$

Esse modelo permite capturar a dependência espacial da precipitação no Paraná, considerando a influência da latitude e longitude, além de variações locais representadas pelo processo espacial $Z(s)$.

Modelo Ajustado

Após o ajuste do modelo, obtemos as seguintes estimativas para os parâmetros:

$chuva(s) = 421.8 - 0.15 lat(s) - 0.39 long(s) + Z(s) + \varepsilon(s)$

para a qual:

• $Z(s)$ é um processo Gaussiano com média zero e estrutura de correlação exponencial, com parâmetro de alcance $\phi = 130$ e variância $\sigma^2 = 685$.

• O termo $\varepsilon(s)$ representa o efeito pepita, cuja variância é $\tau^2 = 480$.

Interpretação

Na Figura 60, é apresentado o mapa de interpolação espacial da precitação. Cada ponto preto indica uma localização de observação utilizada no ajuste do modelo, ou seja, indicam as localizações onde foram feitas medições reais da chuva.

A interpolação espacial revela um gradiente de precipitação, com valores mais elevados na região sul (representados pelas áreas em vermelho) e mais baixos na região norte (tons mais claros). Essa variação pode ser explicada por fatores geográficos, como altitude e latitude, ou por padrões climáticos regionais.

O efeito pepita ($\tau^2$) indica a presença de variabilidade não explicada pelo modelo espacial, possivelmente relacionada a erros de medição ou fatores de pequena escala. A estrutura de correlação definida pelo variograma exponencial permite capturar a dependência espacial dos dados, garantindo que as estimativas interpoladas reflitam padrões reais da precipitação.

Esse tipo de análise é fundamental em vigilância ambiental, planejamento de ações de saúde pública e na gestão territorial de recursos hídricos. Além disso, são essenciais para gestão de recursos hídricos e tomada de decisão em políticas públicas relacionadas ao clima e à agricultura.